Побудова псевдооберненої матриці та її застосування

Abstract

(ua) Для квадратної неособливої матриці А, існує обернена матриця A1 . Якщо ж матриця А – прямокутна або det A  0 , то символ A1 немає сенсу. Однак, виявляється, що для довільної матриці А існує псевдообернена матриця A , що володіє деякими властивостями оберненої матриці і має важливе застосування у прикладних задач. Визначення псевдо-оберненої матриці було запропоноване на початку ХХ століття математиком Едвардом Муром. Згодом, незалежно від Е.Мура, в дещо іншій формі, псевдообернена матриця визначилась і досліджувалась англійським математиком Роджером Пенроузом та іншими авторами. В запропонованій роботі псевдообернена матиця застосована до розв’язування лінійних алгебраїчних рівнянь та до проблеми розв’язуваності систем лінійних диференціальних рівнянь.

(ru) Для квадратной неособенной матрицы А существует обратная матрица A1 . Если же матрица А - прямоугольная или det A  0 то символ A1 не имеет смысла. Однако, оказывается, что для произвольной матрицы А существует псевдообратная матрица A , обладающая некоторыми свойствами обратной матрицы и имеет важное применение в прикладных задачах. Определение псевдообратной матрицы было предложено в начале ХХ века математиком Эдвардом Муром. Впоследствии, независимо от Е.Мура, в несколько иной форме, псевдообратная матрица была определена и исследована английским математиком Роджером Пенроузом и другими авторами. В предлагаемой работе псевдообратная матица применена к решению линейных алгебраических уравнений и к системе линейных дифференциальных уравнений.

(en) In this time the theory of ordinary differential equalizations shows a rich, widely ramified theory. One of basic tasks of this theory there is existence at differential equalizations of such decisions, which satisfy to the additional conditions, unity of decision, and its firmness. A theory must help an engineer and physicist to find the methods of economy and rapid calculation of decision. Differential equalizations are basis of mathematical design of different processes that take place in the living and lifeless wild, for this reason they are widely used in theoretical researches of different processes. It is difficult to estimate the importance of matrices in mathematics. They were the issue of research in many advanced studies, their research get plenty of time and presently. Due to matrices it is possible to decide the sufficient amount of differentiated tasks. With their help the graphic arts of functions and equalizations are investigated as on a plane so in space, decide the systems of linear equalizations with n unknown and many other. In our time to the matrix found the new use in the computer technologies that with every year all anymore develops improving and facilitating life to us. For a square non-singular matrix A, there is an inverse matrix A1 . If matrix A - rectangular or det A  0 , then symbol A1 there is not sense. However, it appears that for an arbitrary matrix A there is a pseudoreverse matrix, that owns some properties of inverse matrix and has important application at the applied tasks. Determination of pseudoreverse matrix offered at the beginning of ХХ century by a mathematician Edward Мoore. Afterwards, regardless of Е.Мoore, in an a few another form, a pseudoreverse matrix was determined and investigated by English mathematician Roger Penrose and other authors. The general theory of regional tasks, classification over of uncritical and critical cases, , the effective coefficient terms of existence and iteration algorithms of construction of decisions of these tasks are brought in works of А. А. Boychuk. Many results are expounded in a monograph, were first got and investigated at the analysis of regional tasks for the systems of ordinary differential equalizations. In future these charts and algorithms offered for research of more general objects: regional tasks for the ordinary systems with the concentrated delay, for the systems with an impulsive action, for the not everywhere settled statement equalizations in functional spaces, linear part of that is the normally settled operator. Examples of construction of generalized-reverse and pseudoreverse matrices are presented in this article. The decision of the linear system of algebra is searched with a rectangular matrix. And also an example of application of pseudoreverse matrix is made at the decision of the two-dimensional differential system from a point by a regional condition.