Урнові моделі в комбінаториці та теорії ймовірностей

Abstract

(uk) На конкретних темах продемонстровано дидактичні можливості використання урнових схем при вивченні ряду понять комбінаторики та теорії ймовірностей. Досліди з урнами, які ми проводимо (хоча б мислено) можуть бути різного типу: кульки виймаються з урни з поверненням або без повернення, кульки розкладаються по урнах. При цьому можна розглядати такі випадки: урни і кульки розрізнювальні (наприклад пронумеровані, або різного кольору), урни однакові,кульки різні, урни різні, кульки однакові, урни однакові і кульки однакові. В роботі розглянуто такі теми: розподіл Паскаля; гіпергеометричний розподіл; від’ємний гіпергеометричний розподіл; числа Стірлінга другого роду; статистики квантової механіки: статистика Максвелла-Больцмана, статистика Фермі-Дірака, статистика Бозе-Ейнштейна; принцип Діріхле.

(ru) На конкретных темах продемонстрированы дидактические возможности использования урновых схем при изучении ряда понятий комбинаторики и теории вероятностей. Опыты с урнами, которые мы проводим (хотя бы мысленно), могут быть различного типа: шары вынимаются с урны с возвращением либо без возвращения, шары раскладываются по урнам. При этом можно рассматривать такие случаи: урны и шары различимы (например, пронумерованные, либо разного цвета), урны одинаковые, шары различные, урны различные, шары одинаковые, урны одинаковые и шары одинаковые. В роботе рассмотрены такие темы: распределение Паскаля гипергеометрическое распределение; отрицательное гипергеометрическое распределение; числа Стирлинга второго рода; статистики квантовой механики: статистика Максвелла-Больцмана, статистика Ферми-Дирака, статистика Бозе-Ейнштейна; принцип Дирихле.

(en) On the certain themes showed didactics opportunities of the use of urn models at the study of row of concepts of combinatorics and theory of probability. In this article considered such themes. Distribution of Pascal (in the urn there are b white and g black balls and b/(b+g ) = p. From this urn will be taken out balls until m of white balls will not appear. Distribution amount of black balls to appearance of m-ts of white marble is studied). Hypergeometrical distribution (in the urn there are b white and g black balls. There are r being taken out in random way (without returning). Random values ﻍ :amount of white balls that here can be go is studied). Negative hypergeometrical distribution (in an urn there are х white and y black balls. From this urnwill be taken out balls until m of white balls will not appear. Distribution amount of black balls to appearance of m-ts of white marble is studied). Numbers of Stirling of the second kind (there are k of same urns and n of the numbered balls. How many methods are possible to accommodate balls in urns, in such way, that not a single urn was empty? The number of such placing is called the numbers of Stirling of the second kind and mark a symbol S (n, k). This method of receipt of such recurrence relationfor these numbers: S (n, k) = S (n–1, k–1 ) + kS (n–1, k). Statistics of quantum mechanics: statistics of Maxwell-Boltzmann, statistics of Fermi-Dirak, statistics of BoseEinstein. Dirichlet Principle: there aren urns and m balls, m>n. At random way transferred out balls on urns. Then there will be at least one not empty urn. (In English language literature –pigeonhole principle).