Біноміальна формула: методи доведення та її застосування

Abstract

(ua) В статі розглянуто п’ять різних методів доведення біноміальної формула: два різних комбінаторних, доведення методом математичної індукції, два різних доведення біноміальної формули засобами математичного аналізу. Обговорюються узагальнення біноміальної формули: біноміальний ряд, поліноміальна формула, q-біноміальна формула Гаусса з квантового числення. Розглянуто ряд прикладів застосування вказаних формул.

(ru) В статье рассматриваются пять различних доказательств биномиальной формулы: два комбинаторных, доказательство методом математическлй индукции, два доказательста биномиальной формулы средствами математического анализа. Обсуждаются обобщения биномиальной формулы: биномиальний ряд, полиномиальная формула, q-биномиальная формула Гаусса из квантового исчисления. Рассмотрено несколько примеров применения этих формул.

(en) A binomial formula (formula of the Binomial theorem) and binomial coefficients related ubiquatious in the different sections of mathematics, and especially in discrete mathematics. These objects occupy an important place as in the school course of mathematics so in the courses of discrete mathematics in higher educational establishments. Therefore actual is development of methodology of studies of this theme. In sex five different methods of proofs of binomial formula are considered: two different combinatorics, the proof to of mathematical induction, two different proof of binomial formula to a method by facilities of mathematical analysis. We discuss generalizations of binomial formula: the binomial series, the multinomial formula, the q-binomial formula of Gauss from a quantum calculation. The row of examples of application of the indicated formulas is considered.