Означення елементарних функцій на засадах математичного аналізу

Abstract

(uk) Елементарні функції займають особливе місце як в шкільному курсі алгебри, так і при вивченні математичного аналізу в університетах. Починають з означень основних елементарних функцій. Для цього використовуються елементарні методи, незважаючи на труднощі та недосконалості цих методів. Часто спираються на інтуїцію, хоча бажано було б давати означення й вивчати властивості функцій на більш строгому логічному рівні. Проблема давня, але вона досі актуальна. Питанням методики введення означень основних елементарних функцій приділяли увагу цілий ряд відомих математиків таких як Ф. Клейн, Н. Бурбакі, Р. Курант та інші. Основна ідея: використати методи математичного аналізу для побудови більш повної теорії. Та пропозиції цих математиків мало вплинули на методику вивчення елементарних функцій не тільки в школі, а й у вищих навчальних закладах. В статті розглядаються різні підходи до вивчення основних елементарних функцій (логарифмічної, показникової, синуса, косинуса) з використанням диференціального, інтегрального числення та теорії степеневих рядів.

(ru) Элементарные функции занимают особенное место как в школьной математике, так и при изучении математического анализа в университетах. Начинают с определений основных элементарных функций. При этом используются элементарные методы, невзирая на трудности и несовершенства подобных методов. Часто полагаются на интуицию, хотя желательно было бы давать определения и изучать свойства функций на более строгом логическом уровне. Проблема эта давняя, но и сегодня она актуальная. Вопросам методики введения определений основных элементарных функций уделяли внимание целый ряд известных математиков таких как Ф. Клейн, Н. Бурбаки, Р. Курант и другие. Основная идея: использовать методы математического анализа для построения более полной теории. Но предложения этих математиков мало повлияли на методику изучения элементарных функций не только в школе, но и в высших учебных заведениях. В статье рассматриваются различные подходы к изучению основных элементарных функций (логарифмической, показательной, синуса, косинуса) с использованием дифференциального, интегрального исчислений и теории степенных рядов.

(en) The elementary functions occupy the special place in school maths and at the study of mathematical analysis in universities .Usually the study of elementary functions begins with the definition of basic elementary functions. Elementary methods are used, without regard to difficulties and imperfections of similar methods. Often rely on intuition, although, it will be desirable to give definition and studies of properties of functions at more logical level. This is old problem, but it is also actual today. The mathematicians were interested in the problem of introduction the definition of the power operations and the logarithms since the sixteenth century, but a main contribution to the decision of this problem belongs to Euler, his book "Introductio in analisin infinitorum - Lausanannae, 1748" became basic level in development of mathematical analysis and by inalienable part in educational literature. Later to the questions of methodology of introduction of definitions basic the elementary functions an attention has been given a number of well-known mathematicians such as F.Kiein, N.Bourbaki, R.Kurant et al. Basic idea: of using the methods of mathematical analysis for the construction of more complete theory. But this suggestion wasn’t very successful in methodology of study of the elementary functions not only at school but also at higher educational establishments. There are many different ways of studying basic elementary functions (logarithmic, exponential, sine, cosine) with the using of differential, integral calculus and the theory of power series are shown in this article.