Залучення учнів до наукової діяльності (на прикладі підготовки команд до участі в олімпіадах та турнірах юних математиків)

Abstract

(ua) Розв’язування конкурсних та олімпіадних задач учнями і студентами є гарним підґрунтям та підготовкою до майбутньої наукової діяльності. У статті розкриваються математичні аспекти підготовки учнів до розв’язування конкурсних завдань на прикладі однієї задачі (доведення нерівності та її узагальнення), запропонованої на ХХІІ Всеукраїнському турнірі юних математиків імені професора М.Й. Ядренка. До задачі наведено декілька різних способів її доведення, у тому числі використання фактів елементарної математики, метод Штурма, метод математичної індукції; проаналізовані можливості доведення іншими способами, їхні переваги та недоліки; проведено порівняння з точки зору вікових можливостей дослідників; визначено оптимальний спосіб доведення з позиції знань школярів; проведено паралель між олімпіадною задачею та даною нерівністю, показано, як з використанням результатів олімпіадної задачі можна довести нерівність.

(ru) Решение конкурсных и олимпиадных задач учащимися и студентами является хорошим основанием и подготовкой к будущей научной деятельности. В статье раскрываются математические аспекты подготовки учащихся к решению конкурсных задач на примере одной задачи (доказательство неравенства и его обобщение), предложенной на XXII Всеукраинском турнире юных математиков имени профессора М.И. Ядренко. К задаче приведены несколько различных способов ее доказательства, в том числе использование фактов элементарной математики, метод Штурма, метод математической индукции; проанализированы возможности доказательства другими способами, их преимущества и недостатки; проведено сравнение с точки зрения возрастных возможностей исследователей; определен оптимальный способ доказательства с позиции знаний школьников; проведена параллель между олимпиадной задачей и данным неравенством, показано, как с использованием результатов олимпиадной задачи можно доказать неравенство.

(en) Solving of competitive and olympiad tasks by students is a good basis and preparation for future scientific activity, because mastering methods of solving olympiad tasks requires hard, active and focused independent work, and also develops their creativity and level of interest in mathematics. Unlike traditional olympiads, the Young Mathematicians’ Tournament is a collective competition that enables students to successfully conduct a scientific research and to become acquainted with the varied mathematical literature under the guidance of coaches. Tournament tasks require scientific research; the result depends on the depth of understanding of the problem, certain limitations and additional conditions; such studies often provide an opportunity to generalize the problem. The purpose of the article is to unveil the mathematical aspects of preparing students for solving competitive tasks on the example of one problem (proof of inequality and its generalization), which has been proposed at the XXII All-Ukrainian Tournament of Young Mathematicians named after Professor M.I. Yadrenko (2019). The problem is presented with several different ways of proof of inequality, alternative possibilities of proving with analysis of their advantages and disadvantages; a comparison was made in terms of researchers’ age-related capabilities; determined the best way to prove from the students’ knowledge standpoint; a parallel between the olympiad problem and the given inequality is drawn, it is shown how one can prove the inequality using the results of this task. The simplest way in our case is to use the elementary facts of a school math course; however, starting with the certain number we’ve got a more exact inequality, but the disadvantage is checking the inequality on a certain range of numbers; more accurate estimating the partial sums can narrow down the range of numbers on which the inequality should be checked. The Sturm method is not part of the compulsory curriculum of the school course, and students should be able to process the material independently to get acquainted with it. The method of mathematical induction is part of the program of profile and advanced level, but the disadvantage of this method is obtaining new inequalities, the proof of which is not always elementary. Further studies will focus on proof of this inequality in other ways using classical inequalities and with help of method of generalizing.