Моделювання хвильових процесів в тришаровій гідродинамічній системі
Дата
2023
Автори
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Анотація
Опис
(ua) Харченко Д. С. - «Моделювання хвильових процесів в тришаровій гідродинамічній системі». – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису : дисертація на здобуття ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 «Прикладна математика» У дисертаційній роботі представлено дослідження задачі поширення слабконелінійних хвильових пакетів у тришаровій гідродинамічній системі «шар із твердим дном – шар – шар із кришкою» з використанням методу
багатомасштабних розвинень.
Необхідність дослідження внутрішніх хвиль у тришаровій гідродинамічній системі зумовлена тим, що стратифіковані ділянки спостерігаються в багатьох водах Світового океану і є предметом широкого кола досліджень. Математичні моделі, які описують поширення хвиль у рідинах із різним рівнем стратифікації, належать до класу задач гідродинаміки, пов’язаних із розвитком теорії нелінійних хвиль. Удосконалення сучасних систем комп’ютерної алгебри, які дозволяють
суттєво пришвидшити роботу з громіздкими аналітичними перетвореннями при застосуванні асимптотичних методів, дають можливість досліджувати дані класи задач, ураховуючи наближення вищих порядків. Розв’язані сьогодні моделі гідродинамічних задач про поширення хвиль у рідинах не охоплюють усіх явищ та процесів. Отже, важливою проблемою стає дослідження поширення внутрішніх хвиль у тришаровій гідродинамічній системі та аналіз таких фізичних закономірностей та механічних ефектів як форми хвильових пакетів, умови модуляційної стійкості, явища резонансу тощо.
У роботі розглянуто задачу поширення хвиль у тришаровій гідродинамічній системі «шар із твердим дном – шар – шар із кришкою» з урахуванням поверхневого натягу. Побудовано математичну модель та отримано постановку задачі в безрозмірному вигляді. З використанням методу багатомасштабних розвинень отримано перші три лінійні наближення
задачі. Знайдено розв’язки задачі першого наближення. Також для задачі першого наближення отримано дисперсійне рівняння першого порядку, яке має дві пари незалежних розв’язків, які є центрами хвильових пакетів.
Отримано аналітичні розв’язки задачі другого наближення. Для задач другого та третього наближення виведено умови існування нетривіальних розв’язків. На основі дисперсійного співвідношення та умов існування нетривіальних розв’язків другого та третього наближень отриман о еволюційні рівняння обвідних хвильових пакетів на поверхнях контакту у
вигляді нелінійного рівняння Шредінгера. Для обох поверхонь контакту виведено умови модуляційної стійкості.
Для задач першого та другого наближень отримано вирази відношень амплітуд відхилень поверхонь контакту. Виконано побудову графіків залежностей відношень амплітуд від хвильового числа, товщини нижнього та верхнього шарів для різних фізичних параметрів. Виявлено, що для залежностей відношень амплітуд від товщини нижнього та верхнього шарів
для першого наближення існують граничні значення, до яких наближаються абсолютні величини. Також для першого наближення виявлено випадки рівності абсолютних величин. Здійснено аналіз графіків залежностей відношень амплітуд для другого наближення, виявлено випадки максимумів та мінімумів, що допомогло виявити фізичні параметри системи, при яких хвилі роблять максимальний внесок у внутрішній хвильовий рух.
Досліджено умови модуляційної стійкості для обох пар коренів, побудовано та проаналізовано графіки залежності меж стійкості від різних фізичних параметрів. Виявлено помітний вплив таких фізичних параметрів системи, як товщина нижнього та верхнього шарів, густини середнього та верхнього шарів на зміну меж модуляційної стійкості. Виявлено випадки злиття областей стійкості.
З урахуванням розв’язку нелінійного рівняння Шредінгера для перших двох наближень отримано формули відхилень поверхонь контакту. Виявлено умови, при яких змінюється форма хвильових пакетів. Для нижньої та верхньої поверхонь контакту для обох пар коренів виконано побудову та аналіз областей знакосталості коефіцієнтів при других гармоніках. Також побудовано та проаналізовано графіки відхилень поверхонь контакту.
Досліджено різні випадки накладання максимумів та мінімумів першої та другої гармонік, при яких виникає асиметрія форми хвильових пакетів. Досліджено залежність сумарного потоку енергії, яку переносять внутрішні хвилі, від хвильового числа та товщини при різних зна ченнях фізичних параметрів у першому наближенні. Розглянуто граничний випадок, який описується рівністю густин середнього та верхнього шарів.
Установлено, що тришарова система «шар із твердим дном – шар – шар із кришкою» вироджується у двошарову систему «шар із твердим дном – шар із кришкою», що підтверджує достовірность отриманих результатів. Усі результати проілюстровано графічно.
Виконано дослідження явища резонансу других гармонік, побудовано та проаналізовано графіки областей резонансу. Здійснено оцінку застосовності методу багатомасштабних розвинень.
Гідродинамічна система «шар із твердим дном – шар – шар із кришкою» моделює подібні стратифіковані ділянки Світового океану в прибережних зонах за наявності льодового покриття або іншої твердої поверхні. Т ому результати дисертаційної роботи можуть бути використані як теоретична база для досліджень, пов’язаних із вивченням поведінки внутрішніх хвиль в океані або гідродинамічних системах, створених у лабораторних умовах, та досліджень, які пов’язані з розробкою спеціальних пристроїв, які використовують енергію внутрішніх хвиль. Також отримані теоретичні та
аналітичні дані можуть бути взяті за основу при проведенн і експериментальних досліджень в океанології, машино- та суднобуванні, гідродинаміці, фізиці та ін. Отже, тема дисертаційної роботи враховує сучасні проблеми математичного моделювання та інших галузей математики.
Дисертаційну роботу виконано відповідно до індивідуального плану роботи аспіранта та в межах дослідження, здійсненого в Центральноукраїнському державному університеті імені Володимира Винниченка за темою «Прикладна математика у дослідженні складних систем з детермінованими та стохастичними процесами» (номер державної
реєстрації 0116 U 005271).
Ключові слова
обвідна хвильового пакету, тришарова гідродинамічна система, поверхня контакту, хвильовий пакет, відношення амплітуд, внутрішня хвиля, потік енергії, резонанс, модуляційна стійкість, форма хвильового пакету
Бібліографічний опис
Харченко Д. С. Моделювання хвильових процесів в тришаровій гідродинамічній системі : дисертація на здобуття ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 «Прикладна математика» / Діана Сергіївна Харченко. - Центральноукраїнський державний університет імені Володимира Винниченка. – Кропивницький, 2023. – 201 с.