Моделювання внутрішніх хвильових процесів у шаруватих рідинах

Abstract

(ua) Дисертаційна робота присвячена дослідженню умов поширення та взаємодії внутрішніх слабконелінійних хвильових пакетів у тришаровій гідродинамічній системі «півпростір – шар – шар з твердою кришкою» із застосуванням методу багатомасштабних розвинень. Швидкий розвиток сучасних пакетів комп’ютерної алгебри та удосконалення асимптотичних методів, які, зазвичай, призводять до громіздкості аналітичних перетворень, посприяв можливості впритул підійти до класу нелінійних задач, які б враховували розв’язки нелінійних проблем у наближеннях вищих порядків. Тому, з урахуванням накопченого досвіду, виникла необхідність дослідити нелінійні гравітаційно-капілярні хвилі у тришаровій рідкій системі і проаналізувати їхнє поширення, модуляційну стійкість обвідних та інші характеристики системи в залежності від фізичних та геометричних параметрів. У роботі розглянуто постановку слабконелінійної задачі поширення та взаємодії хвильових пакетів у системі «півпростір – шар – шар з твердою кришкою». З використанням методу багатомасштабних розвинень виведено перші три лінійні наближення задачі про поширення та взаємодію хвиль вздовж поверхонь контакту в даній системі. Розв’язано задачу першого наближення та отримано дисперсійне співвідношення, яке має дві пари лінійно незалежних розв’язків. Знайдено розв’язки задачі другого наближення. Виведено умови розв’язності другого та третього наближень. На основі цих умов з урахуванням дисперсійного рівняння отримано еволюційні рівняння обвідної внутрішнього верхнього та нижнього хвильового пакету у формі нелінійного рівняння Шредінгера. У ході аналізу коренів дисперсійного рівняння розглянуто два граничні випадки, які підтверджують достовірність отриманих результатів. Аналіз залежності частот центру хвильового пакету від фізичних та геометричних параметрів системи з урахуванням впливу поверхневого натягу показав, що при переході системи від одного виродженого випадку до другого спостерігається якісна симетрія графіків частот центру хвильового пакету відносно значення густини середнього шару. При цьому вплив поверхневого натягу на одній із поверхонь контакту або на двох поверхнях одночасно призводить до збільшення абсолютного значення частоти центра хвильового пакета. Досліджено залежність амплітуд хвиль-відгуків від параметрів системи. Виявлено, що при збільшенні товщини верхнього шару амплітуди хвиль-відгуків прямують до граничного значення, а при рівних стрибках густини на поверхнях контакту абсолютні значення амплітуд хвиль-відгуків співпадають. Якщо стрибок густини на нижній поверхні контакту є меншим за стрибок густини на верхній поверхні контакту, то амплітуда хвиль-відгуків, яка виникає на нижній поверхні, є більшою, ніж амплітуда хвиль-відгуків на верхній поверхні. Зміна значення хвильового числа приводить до того, що значення амплітуд хвиль-відгуків досить швидко збігаються до спільного граничного значення. Дослідження форми відхилення поверхонь контакту у рамках задачі першого наближення показало залежність амплітуди відхилення, як верхньої так і нижньої поверхонь контакту, від зміни густини середнього шару. Проте, з наближенням значення густини середнього шару до значення густини нижнього шару цей вплив є більш вираженим на нижній поверхні контакту. Амплітуда верхньої поверхні контакту зазнає істотних змін тільки при зміні товщини верхнього шару. Відмітимо, що проведений аналіз відношення амплітуд є важливим при подальшому дослідженні енергетичних процесів в системі, що досліджується, адже при поширенні хвиль в багатошарових гідродинамічних системах виникає явище перекачування енергії хвиль. Аналіз форми відхилення поверхонь контакту з урахування наближення другого порядку виявив параметри системи, за яких виникають хвилі з загостреними гребінями та затупленими підошвами, або хвилі з затупленим гребінем і гострою підошвою. Також виявлені області гасіння другої гармоніки та області істотного впливу другої гармоніки на форму поверхні контакту. Аналіз розв’язків другого наближення показав наявність областей резонансу другої гармоніки. На нижній поверхні контакту такі області були виявлені в околі кривих, де коефіцієнт другої гармоніки набуває як завгодно великих значень, а також кривих, де спостерігається виродження тришарової системи у двошарову. Це дало змогу виконати оцінку застосовності методу багатомасштабних розвинень до даної проблеми та зробити висновки про точність методу та достовірність отриманих результатів. Побудовано діаграми модуляційної стійкості для різних значень товщини верхнього шару на площині «густина шару – хвильове число», при цьому виявлено криві, які відділяють область модуляційної стійкості від нестійкості для капілярних та гравітаційних хвиль. Виявлено, що області модуляційної нестійкості істотно розширюються при збільшенні товщини верхнього шару. Виведено вирази для оцінки потоку енергії трьох шарів рідини та сумарної енергії гідродинамічної системи «півпростір – шар – шар з твердою кришкою» у вигляді інтегралів за часовою та вертикальною просторовою змінними від добутку похідних потенціалів швидкостей за часовою та горизонтальною просторовою змінними. Було виявлено, що енергія середнього та верхнього шару тришарової гідродинамічної системи зі збільшенням значення хвильового числа має спадний характер і прямує до певного граничного значення, яке для коротких хвиль не залежить від товщини верхнього шару. У той же час значення енергії нижнього шару зростає, а після досягнення максимуму спадає до свого граничного значення. При цьому потік енергіїя системи, що є сумою потоків енергії трьох шарів, також має спадний характер і достатньо швидко збігається до свого граничного значення. Аналіз впливу геометричних параметрів системи на енергетичні характеристики виявив такі ефекти та закономірності: наявність прогресивної гравітаційної хвилі на верхній поверхні контакту призводить до зростання сумарної енергії системи до граничного значення, в той час як для капілярних хвиль сумарна енергія системи має спадний характер; для випадку гравітаційно-капілярних хвиль, за умови, що прогресивна хвиля на верхній поверхні контакту відсутня, а є лише прогресивна хвиля на нижній поверхні контакту, енергія системи зі збільшенням товщини верхнього шару має спадний характер і для гравітаційних хвиль має більше значення порівняно з капілярними хвилями. Результати дисертаційної роботи в цілому носять теоретичний характер, у них, в значній мірі, враховані сучасні проблеми моделювання хвильових процесів, які виникають в практичній діяльності. Наявність великої кількості фізичних та геометричних параметрів системи, пов’язаних між собою, призводить до необхідності детального аналізу та інтерпретації отриманих результатів, які створюють цілісну картину хвильового процесу і у повній мірі можуть бути застосовані для вивчення хвильових процесів в океані з льодовим покриттям та з шаруватою структурою рідини, яка виникає поблизу гирла річок, а також у відкритому океані у період танення льоду. Вивчення впливу поверхневого натягу має практичне застосування у розробках нових технологій з використанням шаруватих середовищ, які не перемішуються, що має перспективу застосування у створені інноваційних рішень для різних галузей прикладної науки. Дисертаційну роботу було виконано в межах індивідуального плану роботи аспіранта та в рамках дослідження, здійсненого у Центральноукраїнському державному педагогічному університеті імені Володимира Винниченка за темою «Прикладна математика у дослідженні складних систем з детермінованими та стохастичними процесами» (номер державної реєстрації 0116 U 005271).